Ein grundlegendes Axiom der (standardmäßigen) Mengenlehre, das besagt, dass zwei Mengen genau dann identisch sind, wenn sie dieselben Elemente haben: für Mengen A und B gilt A = B genau dann, wenn jedes x genau dann in A ist, wenn x in B ist.

Prinzip

Die Identität einer Menge wird ausschließlich durch ihre Extension (die Menge ihrer Elemente) bestimmt; Gleichheit folgt aus Übereinstimmung der Zugehörigkeiten.

Demonstration

Seien A = {1,2} und B = {2,1}. Prüfe die Zugehörigkeit: 1 ∈ A ⇔ 1 ∈ B und 2 ∈ A ⇔ 2 ∈ B; daher gilt A = B nach Extensionalität.

Fehlanwendung

Extensionalität auf Strukturen anzuwenden, die keine reinen Mengen sind, etwa Multimengen (bei denen Vielfachheit zählt), geordnete Tupel (bei denen Ordnung zählt) oder typisierte Objekte, deren Identität zusätzliche Daten enthält; oder anzunehmen, sie erlaube die Identifikation unterschiedlicher syntaktischer Darstellungen in intensionalen Theorien.

Konsequenz

Ermöglicht elementweise Argumente zur Gleichheit: Nachweis, dass zwei Mengen übereinstimmen, reduziert sich auf gegenseitige Inklusion; sie bildet die Grundlage für Ersetzungen in Zugehörigkeitsaussagen und viele Eindeutigkeitsbeweise.

Umkehrung

Intensionaler Standpunkt: Zwei verschiedene Beschreibungen oder Konstruktionen können als verschieden behandelt werden, selbst wenn sie dieselben Elemente haben (eine Theorie, die Mengen nach Darstellung statt Extension unterscheidet).

Abgrenzung

Gilt innerhalb axiomatischer Mengenlehren, die Mengen als extensionale Entitäten auffassen (z. B. ZF). Nicht anwendbar auf Identität in Kontexten, in denen zusätzliche Daten relevant sind (Multimengen, geordnete Tupel, einige intensionale Typentheorien) oder bei echten Klassen ohne entsprechende Identitätsaxiome.

Semantische Spannung

Extensionalität (Mengen sind gleich bei Übereinstimmung der Elemente) steht in Spannung zur intensionalen Identität (bei der Repräsentation, Reihenfolge, Multiplizität oder Konstruktion unterscheidet); 'extensionell' kann sich auch auf Gleichheit von Prädikaterweiterungen in der Logik beziehen—verwandt, aber nicht identisch.

Synthese

Extensionalität fasst zusammen, dass in einer reinen mengenbasierten Ontologie eine Menge nichts anderes ist als ihre Elemente: Gleichheit reduziert sich auf gegenseitige Mitgliedschaft, wodurch elementweise Identitätsbeweise möglich werden, während Kontexte mit zusätzlicher Struktur ausgenommen bleiben.