Un axiome fondamental de la théorie des ensembles affirmant que deux ensembles sont identiques précisément lorsqu'ils ont les mêmes éléments : pour tout ensembles A et B, A = B si et seulement si tout x appartient à A exactement quand x appartient à B.

Principe

L'identité d'un ensemble est entièrement déterminée par son extension (l'ensemble de ses éléments) ; l'égalité des appartenances suffit à établir l'égalité des ensembles.

Démonstration

Soient A = {1,2} et B = {2,1}. Vérifier les appartenances : 1 ∈ A ⇔ 1 ∈ B et 2 ∈ A ⇔ 2 ∈ B ; donc A = B par extensionalité.

Mauvaise application

Appliquer l'extensionalité à des structures non pures comme les multisets (où la multiplicité compte), les suites ordonnées (où l'ordre compte), ou des objets typés dont l'identité inclut des données supplémentaires ; ou supposer qu'elle permet d'identifier des présentations syntactiques différentes dans des théories intensionales.

Conséquence

Permet un raisonnement élément par élément sur l'égalité : prouver que deux ensembles coïncident revient à montrer l'inclusion mutuelle ; elle fonde le remplacement dans les assertions d'appartenance et de nombreuses démonstrations d'unicité.

Inversion

Point de vue intensional : deux descriptions ou constructions distinctes d'un ensemble peuvent être traitées comme différentes même si elles ont les mêmes éléments (théorie qui distingue les ensembles par présentation plutôt que par extension).

Limite

S'applique dans des théories axiomatiques des ensembles qui prennent les ensembles comme entités extensives (par ex. ZF). Ne s'applique pas à l'identité dans des contextes où des données supplémentaires importent (multisets, tuples ordonnés, certaines théories de types intensionales) ni nécessairement aux classes propres sans axiome d'identité analogue.

Tension sémantique

L'extensionalité (égalités d'ensembles par éléments) est en tension avec les notions intensionnelles d'identité (où la représentation, l'ordre, la multiplicité ou la construction distinguent les objets) ; le terme « extensionnel » peut aussi désigner l'égalité d'extensions de prédicats en logique, lié mais distinct.

Synthèse

L'extensionalité consigne l'idée que, dans une ontologie purement ensembliste, un ensemble ne se réduit qu'à ses membres : l'égalité se ramène à l'appartenance mutuelle, ce qui facilite les preuves élémentaires d'identité tout en excluant les contextes où la structure supplémentaire décide de l'identité.