Un axioma fundamental de la teoría de conjuntos (estándar) que afirma que dos conjuntos son idénticos precisamente cuando tienen los mismos elementos: para cualesquiera conjuntos A y B, A = B si y solo si todo x pertenece a A exactamente cuando x pertenece a B.

Principio

La identidad de un conjunto está determinada únicamente por su extensión (la colección de sus miembros); la igualdad de pertenencias basta para establecer la igualdad de conjuntos.

Demostración

Dado A = {1,2} y B = {2,1}, comprobar pertenencia: 1 ∈ A ⇔ 1 ∈ B y 2 ∈ A ⇔ 2 ∈ B; por extensionalidad A = B.

Aplicación incorrecta

Aplicar extensionalidad a estructuras que no son conjuntos puros, como multiconjuntos (donde importa la multiplicidad), secuencias ordenadas (donde importa el orden) u objetos tipados cuya identidad incluye datos adicionales; o asumir que permite identificar diferentes representaciones sintácticas en teorías intensionales.

Consecuencia

Permite razonar sobre la igualdad elemento a elemento: probar que dos conjuntos coinciden se reduce a mostrar inclusiones mutuas; sostiene el reemplazo en afirmaciones de pertenencia y numerosos argumentos de unicidad.

Inversión

Punto de vista intensional: dos descripciones o construcciones distintas pueden tratarse como diferentes aun teniendo idéntica extensión (una teoría que distingue conjuntos por la presentación y no por la extensión).

Límite

Se aplica en teorías axiomáticas de conjuntos que consideran conjuntos como entidades extensionales (p. ej. ZF). No gobierna la identidad en contextos donde importan datos adicionales (multiconjuntos, tuplas ordenadas, algunas teorías de tipos intensionales) ni necesariamente para clases propias sin un axioma análogo.

Tensión semántica

La extensionalidad (conjuntos iguales cuando coinciden sus elementos) compite con nociones intensionales de identidad (donde la representación, el orden, la multiplicidad o la construcción distinguen objetos); 'extensional' también se usa para la igualdad de extensiones de predicados en lógica, relacionado pero no idéntico.

Síntesis

La extensionalidad resume la idea de que, en una ontología puramente ensemblista, un conjunto no es más que sus miembros: la igualdad se reduce a la pertenencia mutua, permitiendo pruebas elementales de identidad y excluyendo contextos donde la estructura adicional determina la identidad.