Eine Abbildung zwischen metrischen Räumen, die Distanzen exakt erhält: für alle Punkte x und y gilt, dass der Abstand zwischen f(x) und f(y) gleich dem Abstand zwischen x und y ist.

Prinzip

Isometrien sind starre Bewegungen metrischer Räume – struktur-erhaltende Abbildungen, die die gesamte Metrik erhalten und daher Längen, Durchmesser und geodätische Abschnitte erhalten, sofern definiert.

Demonstration

Im euklidischen Raum R^n ist die Komposition aus Rotation und Translation eine Isometrie, da sie euklidische Abstände erhält; kongruente Figuren stehen deshalb durch solche Isometrien zueinander in Beziehung.

Fehlanwendung

Isometrie mit stetiger Bijektion oder Homöomorphismus zu verwechseln – stetige Bijektionen müssen Distanzen nicht erhalten, und konforme Abbildungen erhalten Winkel, jedoch nicht notwendigerweise Längen, also sind sie im Allgemeinen keine Isometrien.

Konsequenz

Eine Isometrie erhält alle metrischen Invarianten: Paarabstände, Vollständigkeit, Beschränktheit und Konvergenzbegriffe, die durch die Metrik definiert sind; isometrische Räume sind aus metrischer Sicht ununterscheidbar.

Umkehrung

Die Inverse einer Isometrie ist wieder eine Isometrie; die Komposition von Isometrien ergibt eine Isometrie, und die Menge der Isometrien eines Raumes bildet eine Gruppe unter Komposition.

Abgrenzung

Isometrie setzt eine Metrik voraus; sie ist restriktiver als topologische Äquivalenz (Homöomorphie) und kann Abbildungen ausschließen, die nur einige grobe geometrische Eigenschaften erhalten (Quasi-Isometrien, Lipschitz-Einbettungen).

Semantische Spannung

Isometrie vs. Quasi-Isometrie: Isometrie verlangt exakte Erhaltung von Distanzen, während Quasi-Isometrie eine beschränkte Verzerrung zulässt und in der geometrischen Gruppentheorie zur Vergleich großer Skalen verwendet wird.

Synthese

Eine Isometrie ist der distanzerhaltende Morphismus der metrischen Geometrie: eine bijektive abstandserhaltende Abbildung (oder ein abstandserhaltendes Einbettung), die die starre Äquivalenz metrischer Räume auf der Ebene der Metrik realisiert.