Une application entre espaces métriques qui préserve exactement les distances : pour tous points x et y, la distance entre f(x) et f(y) est égale à la distance entre x et y.

Principe

Les isométries sont des mouvements rigides des espaces métriques : des applications qui conservent entièrement la structure métrique et donc préservent longueurs, diamètres et segments géodésiques lorsque ceux-ci sont définis.

Démonstration

Dans l’espace euclidien R^n, la composition d’une rotation et d’une translation est une isométrie car elle conserve les distances euclidiennes ; par conséquent, des figures congruentes sont reliées par de telles isométries.

Mauvaise application

Confondre isométrie et bijection continue ou homéomorphisme : une bijection continue ne préserve pas nécessairement les distances, et les applications conformes préservent les angles mais pas forcément les longueurs, donc ne sont généralement pas des isométries.

Conséquence

Une isométrie préserve tous les invariants métriques : distances par paires, complétude, bornitude et notions de convergence définies par la métrique ; des espaces isométriques sont indiscernables du point de vue métrique.

Inversion

L’inverse d’une isométrie est une isométrie ; la composition d’isométries est une isométrie, et l’ensemble des isométries d’un espace forme un groupe pour la composition.

Limite

L’isométrie suppose une métrique ; elle est plus contraignante que l’équivalence topologique (homéomorphisme) et peut exclure des applications qui ne préservent que des caractéristiques géométriques grossières (quasi-isométries, plongements lipschitziens).

Tension sémantique

Isométrie vs quasi-isométrie : l’isométrie exige la préservation exacte des distances, tandis que la quasi-isométrie permet une distorsion bornée et s’emploie en théorie géométrique des groupes pour comparer la structure à grande échelle.

Synthèse

Une isométrie est le morphisme de préservation exacte en géométrie métrique : une application bijective préservant les distances (ou un plongement préservant les distances) réalisant l’équivalence rigide des espaces métriques au niveau de la métrique.