Una aplicación entre espacios métricos que preserva las distancias exactamente: para todos los puntos x e y, la distancia entre f(x) y f(y) es igual a la distancia entre x y y.

Principio

Las isometrías son movimientos rígidos de los espacios métricos: mapeos que conservan la estructura métrica completa y por tanto preservan longitudes, diámetros y segmentos geodésicos cuando estén definidos.

Demostración

En el espacio euclidiano R^n, la composición de una rotación y una traslación es una isometría porque preserva las distancias euclidianas; por ello, figuras congruentes están relacionadas por tales isometrías.

Aplicación incorrecta

Confundir isometría con biyección continua u homeomorfismo: las biyecciones continuas no preservan necesariamente las distancias, y los mapas conformes preservan ángulos pero no necesariamente longitudes, por lo que no son generalmente isometrías.

Consecuencia

Una isometría preserva todos los invariantes métricos: distancias por pares, completitud, acotamiento y nociones de convergencia definidas por la métrica; los espacios isométricos son indistinguibles desde el punto de vista métrico.

Inversión

La inversa de una isometría es una isometría; componer isometrías da otra isometría, y el conjunto de isometrías de un espacio forma un grupo bajo composición.

Límite

La isometría presupone una métrica; es más restrictiva que la equivalencia topológica (homeomorfismo) y puede excluir mapas que preservan solo algunas características geométricas gruesas (quasi-isometrías, incrustaciones Lipschitz).

Tensión semántica

Isometría vs quasi-isometría: la isometría exige preservación exacta de distancias, mientras que la quasi-isometría permite distorsión acotada y se utiliza en teoría geométrica de grupos para comparar la estructura a gran escala.

Síntesis

Una isometría es el morfismo de preservación exacta en geometría métrica: un mapa biyectivo que preserva distancias (o una incrustación que preserva distancias) que realiza la equivalencia rígida de espacios métricos al nivel de la métrica.