Dadas dos medidas σ‑finitas ν y μ en el mismo espacio medible con ν absolutamente continua respecto a μ, la derivada de Radon–Nikodym es toda función medible f tal que para todo conjunto medible A, ν(A)=∫_A f dμ; f es única μ‑casi‑siempre y se denota dν/dμ.

Principio

Expresar una medida absolutamente continua respecto a otra como una densidad respecto a la medida base; la existencia exige absoluta continuidad y σ‑finitud.

Demostración

Si μ es la medida de Lebesgue en R y ν(A)=∫_A ρ(x) dx con ρ integrable, entonces dν/dμ = ρ; en probabilidad, las distribuciones con densidad frente a Lebesgue son ejemplos típicos.

Aplicación incorrecta

Intentar usar una derivada de Radon–Nikodym cuando ν tiene una componente singular frente a μ (por ejemplo, una masa de Dirac mientras μ es Lebesgue) conduce a la inexistencia de densidad y a errores.

Consecuencia

Permite el cambio de medida riguroso, los cocientes de verosimilitud, la esperanza condicional por medio de densidades y la desintegración de medidas; proporciona el integrando para relaciones de absoluta continuidad.

Inversión

Cuando ν es singular respecto a μ, la descomposición de Lebesgue da una parte singular sin derivada de Radon–Nikodym — la situación inversa muestra la no existencia de densidad global.

Límite

Requiere ν ≪ μ y μ σ‑finita; la derivada se define salvo un conjunto μ‑nulo y puede no ser continua ni única punto por punto; no aplica a medidas puramente singulares.

Tensión semántica

A menudo se confunde la derivada de Radon–Nikodym (una densidad respecto de una medida) con la derivada clásica de funciones; la primera es un objeto definido casi siempre, no un cociente puntual.

Síntesis

Una densidad en sentido de medida: la función integrable única (μ‑casi‑siempre) que representa una medida absolutamente continua como integral respecto de otra y habilita el cálculo de cambio de medida.