Étant données deux mesures ν et μ σ-finies sur le même espace mesurable avec ν absolument continue par rapport à μ, la dérivée de Radon–Nikodym est toute fonction mesurable f telle que pour tout ensemble mesurable A, ν(A)=∫_A f dμ ; f est unique μ-presque partout et notée dν/dμ.

Principe

Exprimer une mesure absolument continue par rapport à une autre sous la forme d'une densité par rapport à la mesure de référence ; l'existence exige l'absolue continuité et la σ-finitude.

Démonstration

Si μ est la mesure de Lebesgue sur R et ν(A)=∫_A ρ(x) dx pour une fonction ρ intégrable, alors dν/dμ = ρ ; en probabilités, les lois possédant une densité par rapport à Lebesgue sont des exemples usuels.

Mauvaise application

Tenter de définir une dérivée de Radon–Nikodym lorsque ν comporte une composante singulière par rapport à μ (par ex. une masse de Dirac alors que μ est de Lebesgue) conduit à une absence de densité et à des erreurs.

Conséquence

Permet le changement de mesure rigoureux, les rapports de vraisemblance, l'espérance conditionnelle via une densité et la désintégration des mesures ; fournit l'intégrande pour les relations d'absolue continuité.

Inversion

Quand ν est singulière par rapport à μ, la décomposition de Lebesgue donne une partie singulière sans dérivée de Radon–Nikodym — la situation inverse montre l'absence de densité globale.

Limite

Nécessite ν ≪ μ et μ σ-finie ; la dérivée est définie à un ensemble μ-nul près et n'est pas nécessairement continue ni unique point par point ; inapplicable aux mesures purement singulières.

Tension sémantique

On confond souvent la dérivée de Radon–Nikodym (densité vis‑à‑vis d'une mesure) et la dérivée classique d'une fonction ; la première est un objet à valeur presque partout, pas un quotient point par point.

Synthèse

Une densité au sens des mesures : la fonction intégrable unique (à μ-presque partout près) qui représente une mesure absolument continue comme une intégrale contre une autre, permettant le calcul de changement de mesure.