Une fonction qui associe à un décalage temporel la corrélation entre les valeurs d'une série ou d'un processus stochastique séparées par ce décalage ; elle quantifie la dépendance temporelle linéaire au sein d'une même série.

Principe

L'autocorrélation au décalage τ est la covariance entre la série et sa version décalée de τ divisée par la variance (si la variance est finie) ; pour des processus aux statistiques d'ordre deux invariantes dans le temps elle dépend seulement du décalage et est symétrique par inversion du signe du décalage.

Démonstration

Pour un processus autorégressif X_t = φ X_{t-1} + ε_t avec ε_t bruit blanc, l'autocorrélation théorique au décalage k vaut φ^k, montrant une décroissance exponentielle lorsque |φ|<1.

Mauvaise application

Utiliser des autocorrélations d'échantillon sur une série courte ou fortement trendée pour conclure à une dépendance à longue portée, ou compter sur l'autocorrélation pour détecter un couplage non linéaire qu'elle ne révèle pas.

Conséquence

Met en évidence des échelles de temps caractéristiques et des périodicités, oriente l'identification de modèles (décalages à inclure) pour des prédicteurs linéaires et guide la conception de filtres et de commandes basées sur la mémoire temporelle.

Inversion

La corrélation croisée compare deux séries différentes pour détecter des relations avance‑retard, tandis que l'autocorrélation compare une série avec elle‑même à différents décalages pour révéler la mémoire interne.

Limite

Exige des moments seconds finis et un ordonnancement cohérent des observations ; elle n'est pas définie pour des données non ordonnées ou pour des processus dépourvus de structure d'ordre deux bien définie.

Tension sémantique

L'autocorrélation partielle isole les effets directs aux retards en supprimant les influences d'intermédiaires ; la confusion survient lorsqu'on utilise l'autocorrélation pour inférer une causalité directe plutôt que des dépendances en chaîne.

Synthèse

La fonction d'autocorrélation est la covariance normalisée d'une série avec ses copies retardées, qui relie le décalage à la force de dépendance linéaire et met en évidence la structure temporelle et les échelles de décroissance.