Fonction scalaire le long d'une courbe spatiale suffisamment régulière mesurant le taux de rotation du plan osculateur autour de la tangente, généralement notée τ ; conjointement avec la courbure, elle constitue les invariants de Frenet–Serret déterminant la courbe à un mouvement rigide près.

Principe

La torsion se définit via le repère de Frenet–Serret par τ = -⟨B',N⟩/|r'| ou équivalemment par des dérivées de la tangente unitaire et de la normale ; une torsion non nulle indique un départ de la planéité de la courbe.

Démonstration

Une hélice circulaire r(t) = (R cos t, R sin t, c t) possède une courbure constante non nulle et une torsion constante non nulle proportionnelle à c/(R^2 + c^2), illustrant une torsion régulière hors des plans.

Mauvaise application

Calculer la torsion en un point où la courbure est nulle (point d'inflexion) sans procédure limite, ou confondre la torsion avec la courbure signée d'une projection planaire.

Conséquence

D'après le théorème fondamental des courbes spatiales, connaître la courbure et la torsion en fonction de l'abscisse curviligne détermine la courbe de façon unique à une rotation et une translation près ; la torsion identifie la chiralité (enroulement gauche ou droit).

Inversion

Une torsion nulle caractérise les courbes planes (pas de torsion) ; intervertir rôle de la courbure et de la torsion ne donne pas un invariant géométrique équivalent et modifie radicalement la classification.

Limite

Nécessite que la courbe soit au moins C^3 et ait une courbure non nulle pour le repère classique de Frenet ; des repères alternatifs ou des notions généralisées de torsion sont nécessaires aux points d'inflexion ou pour des courbes non lisses.

Tension sémantique

Des ambiguïtés apparaissent à cause des conventions de signe du repère de Frenet et de définitions alternatives (par ex. repère de transport parallèle) qui peuvent décaler la valeur numérique ou l'interprétation de la torsion.

Synthèse

La torsion est le scalaire de Frenet–Serret quantifiant la sortie d'une courbe spatiale lisse hors de son plan osculateur ; avec la courbure, elle encode complètement la forme géométrique locale de la courbe à un mouvement rigide près.