Mesure de centralité dans un réseau attribuant à chaque nœud un score proportionnel à la somme des scores de ses voisins ; mathématiquement les composantes du vecteur propre principal de la matrice d'adjacence (ou d'adjacence pondérée) associées à la valeur propre dominante.

Principe

L'importance circule via les connexions : un nœud est important s'il est connecté à d'autres nœuds importants, formalisé par la relation propre A v = λ v pour la matrice d'adjacence A et la paire propre dominante (λ,v).

Démonstration

Calculer le vecteur propre dominant de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté connecté ; normaliser ses composantes pour obtenir des scores de centralité — les nœuds avec de grandes composantes sont structurellement centraux même si leur degré est modéré mais connectés à des voisins à haut score.

Mauvaise application

Appliquer la centralité par vecteur propre brute à des graphes orientés contenant des puits ou à des matrices d'adjacence réductibles sans traiter la réductibilité ou la normalisation peut produire des classements trompeurs ou non définis.

Conséquence

Lorsqu'elle est applicable, la centralité par vecteur propre capture des motifs d'influence globale, identifiant des nœuds dont la position relie de nombreux voisins de grande importance plutôt que simplement un degré local élevé.

Inversion

Les centralités locales (par ex. la centralité de degré) inversent la perspective : elles comptent les connexions immédiates sans pondération par l'importance des voisins et mettent donc l'accent sur la popularité locale plutôt que sur l'influence propagée.

Limite

Définie pour des graphes où la valeur propre dominante est unique et le vecteur propre correspondant est non négatif (conditions de Perron–Frobenius pour matrices non négatives irréductibles) ; pour des matrices d'adjacence réductibles ou signées l'interprétation requiert une modification.

Tension sémantique

Concurre avec PageRank et la centralité de Katz : PageRank ajoute une normalisation stochastique et un amortissement pour gérer les graphes dirigés et les puits, tandis que Katz atténue les chemins longs ; ces méthodes diffèrent par la normalisation et le traitement de la réductibilité.

Synthèse

La centralité par vecteur propre attribue des scores issus du vecteur propre principal de la matrice d'adjacence de sorte que l'importance d'un nœud égale la somme des importances de ses voisins, capturant l'influence globale propagée dans le réseau.